Как экспериментально снять временные характеристики линейных цепей. Расчёт частотных и временных характеристик линейных цепей. Изображение импульсных характеристик находим по соотношению

К временным характеристикам цепей относятся переходная и импульсная характеристики.

Рассмотрим линейную электрическую цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения.

Пусть внешнее воздействие на цепь представляет собой функцию включения (единичный скачок) x(t) = 1(t - t 0).

Переходной характеристикой h(t - t 0) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения

Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной.

Пусть внешнее воздействие на цепь имеет форму -функции

x(t) = d(t - t 0).

Импульсной характеристикой g (t - t 0) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется реакция цепи на воздействие в виде -функции при нулевых начальных условиях/

Размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.

Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, переходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздействием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от первых характеристик аргументом последних является время t , а не угловая w или комплексная p частота. Так как характеристики цепи, аргументом которых является время, называются временными, а характеристики, аргументом которых является частота (в том числе и комплексная) - частотными, то переходная и импульсная характеристики относятся к временным характеристикам цепи.

Каждой операторной характеристики цепи H k n (p) можно поставить в соответствие переходную и импульсную характеристики.

(9.75)

При t 0 = 0 операторные изображения переходной и импульсной характеристик имеют простой вид

Выражения (9.75), (9.76) устанавливают связь между частотными и временными характеристиками цепи. Зная, например, импульсную характеристику можно с помощью прямого преобразования Лапласа найти соответствующую операторную характеристику цепи

а по известной операторной характеристики H k n (p) с помощью обратного преобразования Лапласа определить импульсную характеристику цепи

Используя выражения (9.75) и теорему дифференцирования (9.36), нетрудно установить связь между переходной и импульсной характеристиками

Если при t = t 0 функция h(t - t 0) изменяется скачкообразно, то импульсная характеристика цепи связана с ней следующим соотношением

(9.78)

Выражение (9.78) известно под названием формулы обобщенной производной. Первое слагаемое в этом выражении представляет собой производную переходной характеристики при t > t 0 , а второе слагаемое содержит произведение d-функции на значение переходной характеристики в точке t= t 0 .

Если функция h 1 (t - t 0) не претерпевает разрыва при t = t 0 , т. е. значение переходной характеристики в точке t = t 0 равно нулю, то выражение для обобщенной производной совпадает с выражением для обычной производной., импульсная характеристика цепи равна первой производной переходной характеристики по времени

(9.77)

Для определения переходных (импульсных) характеристик линейной цепи применяют два основных способа.

1) Необходимо рассмотреть переходные процессы, имеющие место в данной цепи при воздействии на нее тока или напряжения в виде функции включения или -функции. Это может быть выполнено с помощью классического или операторного методов анализа переходных процессов.

2) На практике для нахождения временных характеристик линейных цепей удобно использовать путь, основанный на применении соотношений, устанавливающих связь между частотными и временными характеристиками. Определение временных характеристик в этом случае начинается с составления операторной схемы замещения цепи для нулевых начальных условий. Далее, используя эту схему, находят операторную характеристику H k n (p), соответствующую заданной паре: внешнее воздействие на цепь x n (t) - реакция цепи y k (t). Зная операторную характеристику цепи и применяя соотношения (6.109) или (6.110), определяют искомые временные характеристики.

Следует обратить внимание, что при качественном рассмотрении реакции линейной цепи на воздействие единичного импульса тока или напряжения переходной процесс в цепи разделяют на два этапа. На первом этапе (при tÎ] t 0- , t 0+ [ ) цепь находится под воздействием единичного импульса, сообщающего цепи определенную энергию. Токи индуктивностей и напряжения емкостей при этом скачком изменяются на значение, соответствующее поступившей в цепь энергии, при этом нарушаются законы коммутации. На втором этапе (при t ³ t 0+ ) действие приложенного к цепи внешнего воздействия закончилось (при этом соответствующие источники энергии выключены, т. е. представлены внутренними сопротивлениями), и в цепи возникают свободные процессы, протекающие за счет энергии, запасенной в реактивных элементах на первой стадии переходного процесса. Следовательно, импульсная характеристика характеризует свободные процессы в рассматриваемой цепи.

Единичные функции и их свойства Важное место в теории линейных цепей занимает исследование реакции этих цепей на идеализированные внешние воздействия, описываемые так называемыми единичными функциями. Единичной ступенчатой функцией (функцией Хевисайда) называется функция: График функции 1(t-t 0) имеет вид ступеньки или скачка, высота которого равна 1. Скачок такого типа будем называть единичным.

Единичные функции и их свойства В связи с тем, что произведение любой ограниченной функции времени f(t) на 1(t-t 0) равно нулю при t

Единичные функции и их свойства Если при t=t 0 в цепь включается источник гармонического тока или напряжения то внешнее воздействие на цепь можно представить в виде: Если внешнее воздействие на цепь в момент времени t=t 0 скачкообразно изменяется от одного фиксированного значения X 1 до другого X 2, то

Единичные функции и их свойства Внешнее воздействие на цепь, имеющее форму прямоугольного импульса высотой X и длительностью tи (рис.), можно представить в виде разности двух одинаковых скачков сдвинутых во времени на tи

Единичные функции и их свойства Рассмотрим прямоугольный импульс длительностью и высотой 1/ t (рис.). Очевидно, что площадь этого импульса равна 1 и не зависит от t. При уменьшении длительности импульса его высота возрастает, причем при t→ 0 она стремится к бесконечности, но площадь остается равной 1. Импульс бесконечно малой длительности, бесконечно большой высоты, площадь которого равна 1, будем называть единичным импульсом. Функция, определяющая единичный импульс, обозначается (t-t 0) и называется δ-функцией или функцией Дирака.

Единичные функции и их свойства с помощью δ-функции можно выделять значения функции f(t) в произвольные моменты времени t 0. Эту особенность δфункции обычно называют фильтрующим свойством. При t 0 =0 операторные изображения единичных функций имеют особенно простой вид:

Переходная и импульсная характеристики линейных цепей Переходной характеристикой g(t-t 0) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие неединичного скачка тока или напряжения к высоте этого скачка при нулевых начальных условиях: Переходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения. Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной.

Переходная и импульсная характеристики линейных цепей Импульсной характеристикой h(t-t 0) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади к площади этого импульса при нулевых начальных условиях: Импульсная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса. Размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.

Переходная и импульсная характеристики линейных цепей Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, переходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздействием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от комплексной частотной и операторной характеристик аргументом переходной и импульсной характеристик является время t, а не угловая ω или комплексная p частота. Так как характеристика цепи, аргументом которых является время, называются временными, а аргументом которых является частота (в том числе и комплексная) - частотными характеристиками, то переходная и импульсная характеристики относятся к временным характеристикам цепи.

Переходная и импульсная характеристики линейных цепей Таким образом, импульсная характеристика цепи hkv(t) - это функция, изображение которой, по Лапласу, представляет собой операторную характеристику цепи Hkv(p), а переходная характеристика цепи gkv(t) − функция, операторное изображение которой равно Hkv(p)/p.

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие Внешнее воздействие на цепь представляют в виде линейной комбинации однотипных элементарных составляющих: а реакцию цепи на такое воздействие находят в виде линейной комбинации частичных реакций на воздействие каждой из элементарных составляющих внешнего воздействия в отдельности: В качестве элементарных составляющих можно выбирать внешние воздействия, наиболее широкое распространение получили элементарные (пробные) воздействия в виде гармонической функции времени, единичного скачка и единичного импульса.

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике Рассмотрим произвольную линейную электрическую цепь, не содержащую независимых источников энергии, переходная характеристика g(t) которой известна. Пусть внешнее воздействие на цепь задается в виде произвольной функции x=x(t), равной нулю при t

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике Функцию x(t) можно приближенно представить в виде суммы неединичных скачков или, что то же самое, в виде линейной комбинации единичных скачков, смещенных один относительно другого на: В соответствии с определением переходной характеристики реакция цепи на воздействие неединичного скачка, приложенного в момент времени t= k, равна произведению высоты скачка на переходную характеристику цепи g(t- k). Следовательно, реакция цепи на воздействие, представляемое суммой неединичных скачков (6. 114), равна сумме произведений высот скачков на соответствующие переходные характеристики:

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике Очевидно, что точность представления входного воздействия в виде суммы неединичных скачков, как и точность представления реакции цепи, возрастает с уменьшением шага разбиения по времени. При → 0 суммирование заменяется интегрированием: Выражение известно под названием интеграла Дюамеля (интеграла наложения). Используя это выражение можно найти точное значение реакции цепи на заданное воздействие x=x(t) в любой момент времени t после коммутации. Интегрирование в осуществляется на промежутке t 0

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике С помощью интеграла Дюамеля можно определить реакцию цепи на заданное воздействие и в том случае, когда внешнее воздействие на цепь описывается кусочно-непрерывной функцией, т. е. функцией, которая имеет конечное число конечных разрывов. В этом случае интервал интегрирования необходимо разбить на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности функции x=x(t) и учесть реакцию цепи на конечные скачки функции x=x(t) в точках разрыва.

Временными характеристиками электрической цепи являются переходная h(l) и импульсная k(t) характеристики. Временной характеристикой электрической цепи называется отклик цепи на типовое воздействие при нулевых начальных условиях.

Переходная характеристика электрической цепи - это отклик (реакция) цепи на единичную функцию при нулевых начальных условиях (рис. 13.7, а, б), т.е. если входная величина /(/)= 1(/),то выходной величиной будет /?(/) = х(1 ).

Поскольку воздействие начинается в момент времени / = 0, то отклик /?(/) = 0 при /в). При этом переходная характеристика

запишется в виде h(t- т) или Л(/-т)- 1(г-т).

Переходная характеристика имеет несколько разновидностей (табл. 13.1).

Если воздействие задано в виде единичного скачка напряжения и реакция - также напряжение, то переходная характеристика оказывается безразмерной и является коэффициентом передачи Кц(1) по напряжению. Если же выходной величиной служит ток, то переходная характеристика имеет размерность проводимости, численно равна этому току" и является переходной проводимостью ?(1 ). Аналогично при воздействии скачка тока и реакции в виде напряжения переходная характеристика является переходным сопротивлением 1(1). Если же при этом выходная величина - ток, то переходная характеристика безразмерна и является коэффициентом передачи К/(г) по току.

Существует два способа определения переходной характеристики - расчетный и экспериментальный. Для определения переходной характеристики расчетным способом необходимо: классическим методом определить отклик цепи на постоянное воздействие; полученный отклик разделить на величину постоянного воздействия и тем самым определить переходную характеристику. При экспериментальном определении переходной характеристики необходимо: на вход цепи подать в момент времени / = О постоянное напряжение и снять осциллограмму реакции цепи; полученные значения пронормировать относительно входного напряжения - это и есть переходная характеристика.

Рассмотрим на примере простейшей цепи (рис. 13.8) вычисление переходных характеристик. Для данной цепи в гл. 12 было установлено, что реакция цепи на постоянное воздействие определяется выражениями:

Разделив «с(Г) и /(/) на воздействие?, получим переходные характеристики соответственно по напряжению на емкости и по току в цепи:

Графики переходных характеристик изображены на рис. 13.9, а , б.

Для получения переходной характеристики по напряжению на сопротивлении следует умножить переходную характеристику по току на /-(рис. 13.9, в):

Импульсная характеристика (функция веса ) - это отклик цепи на дельта-функцию при нулевых начальных условиях (рис. 13.10, а - в):

Если дельта-функция смешена относительно нуля на т, то на столько же будет смещена и реакция цепи (рис. 13.10, г); при этом импульсная характеристика записывается в виде /с(/-т) или лс(/-т) ? 1 (/-т).

Импульсная характеристика описывает свободный процесс в цепи, поскольку воздействие вида 5(/) существует в момент / = 0, а для Г*0 дельта-функция равна нулю.

Так как дельта-функция является первой производной от единичной функции, то между /;(/) и к(I) существует следующая связь:

При нулевых начальных условиях

Физически оба слагаемых в выражении (13.3) отражают два этапа переходного процесса в электрической цепи при воздействии на нее импульса напряжения (тока) в виде дельтафункции: первый этап - накопление некоторой конечной энергии (электрического поля в емкостях С или магнитного поля в индуктивностях?) за время действия импульса (Дг ->0); второй этап - рассеивание этой энергии в цепи после окончания действия импульса.

Из выражения (13.3) следует, что импульсная характеристика равна переходной характеристике, деленной на секунду. Расчетным способом импульсную характеристику вычисляют по переходной. Так, для ранее приведенной схемы (см. рис. 13.8) импульсные характеристики в соответствии с выражением (13.3) будут иметь вид:

Графики импульсных характеристик представлены на рис. 13.11, а-в.

Для определения импульсной характеристики экспериментальным путем на вход цепи необходимо подать, например, прямоугольный импульс длительностью

. На выходе цепи - кривая переходного процесса, которая затем нормируется относительно площади входного процесса. Нормированная осциллограмма реакции линейной электрической цепи и будет импульсной характеристикой.

Ранее мы рассматривали частотные характеристики, а временные характеристики описывают поведение цепи во времени при заданном входном воздействии. Таких характеристик всего две: переходная и импульсная.

Переходная характеристика

Переходная характеристика - h (t ) - есть отношение реакции цепи на входное ступенчатое воздействие к величине этого воздействия при условии, что до него в цепи не было ни токов, ни напряжений.

Ступенчатое воздействие имеет график:

1(t) – единичное ступенчатое воздействие.

Иногда используют ступенчатую функцию, начинающуюся не в момент «0»:

Для расчёта переходной характеристики к заданной цепи подключают постоянный ЭДС (если входное воздействие – напряжение) или постоянный источник тока (если входное воздействие – ток) и рассчитывают заданный в качестве реакции переходный ток или напряжение. После этого делят полученный результат на величину источника.

Пример: найти h (t ) для u c при входном воздействии в виде напряжения.

1)
,

2)
,

3)
,
,

,

Пример : ту же задачу решить при входном воздействии в виде тока

1)
,

2)
,

3)
,
,

,

Импульсная характеристика

Импульсная характеристика - g (t ) – есть отношение реакции цепи на входное воздействие в виде дельта - функции к площади этого воздействия при условии, что до подключения воздействия в схеме не было ни токов, ни напряжений.

δ(t ) – дельта-функция, дельта-импульс, единичный импульс, импульс Дирака, функция Дирака. Это есть функция:

Рассчитывать классическим методом g (t ) крайне неудобно, но так как δ(t ) формально является производной
, то найти её можно из соотношенияg (t )= h (0)δ(t ) + dh (t )/ dt .

Для экспериментального определения этих характеристик приходится действовать приближённо, то есть создать точное требуемое воздействие невозможно.

На вход падают последовательность импульсов, похожих на прямоугольные:

t ф – длительность переднего фронта (время нарастания входного сигнала);

t и – длительность импульса;

К этим импульсам предъявляют определённые требования:

а) для переходной характеристики:

- t паузы должно быть таким большим, чтобы к моменту прихода следующего импульса переходный процесс от окончания предыдущего импульса практически заканчивался;

- t и должно быть таким большим, чтобы переходный процесс, вызванный возникновением импульса, тоже практически успевал заканчиваться;

- t ф должно быть как можно меньше (так, чтобы за t ср состояние цепи практически не менялось);

- X m должна быть с одной стороны такой большой, чтобы с помощью имеющейся аппаратуры можно было бы зарегистрировать реакцию цепи, а с другой: такой маленькой, чтобы исследуемая цепь сохраняла свои свойства. Если всё это так, регистрируют график реакции цепи и изменяют масштаб по оси ординат в X m раз (X m =5В, ординаты поделить на 5).

б) для импульсной характеристики:

t паузы – требования такие же и к X m – такие же, к t ф требований нет (потому что даже сама длительность импульса t ф должна быть такой малой, чтобы состояние цепи практически не менялось. Если всё это так, регистрируют реакцию и изменяют масштаб по оси ординат на площадь входного импульса
.

Итоги по классическому методу.

Основным достоинством является физическая ясность всех используемых величин, что позволяет проверять ход решения с точки зрения физического смысла. В простых цепях удаётся очень легко получить ответ.

Недостатки: по мере возрастания сложности задачи быстро нарастает трудоёмкость решения, особенно на этапе расчёта начальных условий. Не все задачи удобно решать классическим методом (практически никто не ищет g (t ) , и у всех возникают проблемы при расчёте задач с особыми контурами и особыми сечениями).

До коммутации
,
.

Следовательно, по законам коммутации u c 1 (0) = 0 и u c 2 (0) = 0 , но из схемы видно, что сразу после замыкания ключа: E = u c 1 (0)+ u c 2 (0).

В таких задачах приходится применять особую процедуру поиска начальных условий.

Эти недостатки удаётся преодолеть в операторном методе.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

Харьковский государственный технический университет радиоэлектроники

Расчетно‑пояснительная записка

к курсовой работе

по курсу «Основы радиоэлектроники»

Тема: Расчёт частотных и временных характеристик линейных цепей

Вариант №34

ВВЕДЕНИЕ

Знание фундаментальных базовых дисциплин в подготовке и формировании будущего инженера-конструктора весьма велико.

Дисциплина «Основы радиоэлектроники» (ОРЭ) относится к числу базовых дисциплин. При изучении данного курса приобретаются теоретические знания и практические навыки по использованию этих знаний для расчета конкретных электрических цепей.

Основная цель курсовой работы – закрепление и углубление знаний по следующим разделам курса ОРЭ:

расчет линейных электрических цепей при гармоническом воздействием методом комплексных амплитуд;

частотные характеристики линейных электрических цепей;

временные характеристики цепей;

методы анализа переходных процессов в линейных цепях (классический, интегралы наложения).

Курсовая работа закрепляет знания в соответствующей области, а тем у кого никаких знаний нет предлагается их получить практическим методом – решением поставленных задач.

Вариант № 34

1. Определить комплексное входное сопротивление цепи.

2. Найти модуль, аргумент, активную и реактивную составляющие комплексного сопротивления цепи.

3. Расчет и построение частотных зависимостей модуля, аргумента, активной и реактивной составляющих комплексного входного сопротивления.

4. Определить комплексный коэффициент передачи цепи, построить графики амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристик.

5. Определить классическим методом переходную характеристику цепи и построить ее график.

6. Найти импульсную характеристику цепи и построить ее график.

1 РАСЧЁТ КОМПЛЕКСНОГО ВХОДНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ЦЕПИ

1.1 Определение комплексного входного сопротивления цепи

(1)

После подстановки числовых значений получим:

(2)

Специалистов, которые проектируют электронную аппаратуру. Курсовая работа по этой дисциплине - один из этапов самостоятельной работы, который позволяет определить и исследовать частотные и временные характеристики избирательных цепей, установить связь между предельными значениями этих характеристик, а также закрепить знания по спектральному и временному методам расчета отклика цепи. 1. Расчёт...

T, мкс m=100 1.982*10-4 19,82 m=100000 1,98*10-4 19,82 Временные характеристики исследуемой цепи изображены на рис.6, рис. 7. Частотные характеристики изображены на рис. 4, рис. 5. ВРЕМЕННОЙ МЕТОД АНАЛИЗА 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИИ ЦЕПИ НА ИМПУЛЬС С помощью интеграла Дюамеля можно определить реакцию цепи на заданное воздействие и в том случае, когда внешнее воздействие на...