В радиотехнических цепях сопротивления нагрузки обычно велики и не влияют на четырехполюсник либо сопротивление нагрузки стандартно и уже учтено в схеме четырехполюсника.

Тогда четырехполюсник может характеризоваться одним параметром, устанавливающим связь между выходным и входным напряжениями при пренебрежении током нагрузок. При синусоидальном сигнале такой характеристикой является передаточная функция цепи (коэффициент передачи), равная отношению комплексной амплитуды сигнала на выходе к комплексной амплитуде сигнала на входе: , где – фазово-частотная характеристика, - амплитудно-частотная характеристика цепи.

Передаточная функция линейной цепи вследствие справедливости принципа суперпозиции позволяет анализировать прохождение сложного сигнала через цепь, разлагая его на синусоидальные составляющие. Другой возможностью использования принципа суперпозиции является разложение сигнала на сумму сдвинутых во времени d-функций d(t). Реакцией цепи на действие сигнала в виде d-функций является импульсная характеристика g(t), т. е. это сигнал на выходе, если сигнал на входе есть d-функция. при . При этом g(t) = 0 при t < 0 – выходной сигнал не может возникнуть ранее момента появления входного сигнала.

Экспериментально импульсную характеристику можно определить подавая на вход короткий импульс площадью единица и уменьшая длительность импульса при сохранении площади до тех пор, пока сигнал на выходе перестанет изменяться. Это и будет импульсная характеристика цепи.

Так как независимый параметр, связывающий напряжения на выходе и входе цепи, может быть только один, то между импульсной характеристикой и передаточной функцией имеется связь.

Пусть на вход подается сигнал в виде d-функции со спектральной плотностью . На выходе цепи будет импульсная характеристика , при этом все спектральные составляющие входного сигнала умножаются на передаточную функцию соответствующей частоты: . Таким образом, импульсная характеристика цепи и передаточная функция связаны преобразованием Фурье:

Иногда вводят так называемую переходную характеристику цепи h(t), являющуюся откликом на сигнал, называемый единичным скачком:

I(t) = 1 при t ³ 0

I(t) = 0 при t < 0

при этом , h(t) = 0 при t < 0.

Ввиду связи между передаточной функцией и импульсной характеристикой, на передаточную функцию накладываются ограничения:

· Условие, что g(t) должна быть вещественной, приводит к требованию, что , т. е. модуль передаточной функции (АЧХ) есть четная, а фазовый угол (ФЧХ) – нечетная функция частоты.

· Условие, что при t < 0, g(t) = 0 приводит к критерию Пэли-Винера: .

Например, рассмотрим идеальный фильтр низких частот ФНЧ с передаточной функцией.

Здесь интеграл в критерии Пэли-Винера расходится, как и для любой , обращающейся в нуль на конечном отрезке оси частот.

Импульсная характеристика такого фильтра есть

g(t) не равна нулю при t < 0, тем сильнее, чем меньше время задержки , которое определяет ее угол наклона . Это указывает на нереализуемость идеального ФНЧ, имеющего близкое приближение при достаточно больших .

Временными характеристиками цепи называются откликами на типовые составляющие исходного сигнала.

Переходная характеристика цепи - это отклик цепи с нулевыми начальными условиями на воздействие единичной функции (функции Хевисайда). Переходная характеристика определяется из операторной передаточной функции путем её деления на оператор , и нахождения оригинала от получившегося изображения с помощью обратного преобразования Лапласа через вычеты.

Импульсная характеристика цепи - это отклик цепи на воздействие дельта-функции . - бесконечно короткий по длительности и бесконечно большой по амплитуде импульс единичной площади. Импульсная характеристика определяется путем нахождения вычетов от передаточной функции цепи.

Временные характеристики цепи будем искать также операторным методом. Для этого нужно найти операторное изображение входного сигнала, умножить его на коэффициент передачи в операторной форме и от полученного выражения найти оригинал, т. е зная коэффициент передачи цепи, мы можем найти отклик на любое воздействие.

Нахождение импульсной характеристики сводится к нахождению реакции цепи на дельта-функцию. Известно, что для дельта-функции изображением является 1. Применяя обратное преобразование Лапласа, найдем импульсную характеристику.

.

Выделим целую часть для передаточной функции цепи, так как степени старших коэффициентов в числителе и в знаменателе равны:

Найдем особые точки передаточной функции, приравняв знаменатель к нулю.

Имеем всего одну особую точку, теперь берем вычет в этой особой точке.

Выражение для импульсной характеристики запишется следующим образом:

Аналогично найдем переходную характеристику цепи, зная, что для функции Хевисайда изображением является функция .

; , ;

Переходная и импульсная характеристики связаны между собой, так же как и входные воздействия :

Проверим выполнение предельных соотношений между частотными и временными характеристиками цепи, т.е. выполнение следующих условий:

Подставляем в систему конкретные выражения для характеристик цепей.

.

Как видим, условия выполняются, что говорит о правильности найденных формул.

Запишем конечные формулы для временных характеристик, учитывая нормировку

По вышеуказанным формулам построим графики этих функций.

фурье сигнал аналоговый линейный

Рисунок 2.5 - Импульсная характеристика аналогового фильтра-прототипа

Рисунок 2.6 - Переходная характеристика аналогового фильтра-прототипа

Временные характеристики существуют только при , так как отклики не могут опережать воздействия.

Наша цепь является дифференцирующей, поэтому переходная характеристика ведет себя так. Дифференцирующая цепь заостряет переходный процесс и пропускает передний фронт. За «бросок» отвечают прошедшие высокие частоты, а за завал - не прошедшие низкие частоты.

Статья в тему

Внедрение и использование GPS-трекеров в среде предприятия
Трекер - устройство приёма-передачи-записи данных для спутникового мониторинга автомобилей, людей или других объектов, к которым оно прикрепляется, использующее Global Positioning System для точного определения местонахождения обьекта. Сферы применения GPS-мониторинга транспорта: скорая...

Временные и частотные характеристики цепи связаны между собой формулами преобразования Фурье. По найденной в п. 2.1 переходной характеристике вычисляется импульсная характеристика цепи (рисунок 1)

Результат вычислений совпадает с формулой H(jщ), полученной в п. 2.2

Дискретизация входного сигнала и импульсной характеристики

Пусть принимается за верхнюю границу спектра входного сигнала.Тогда по теореме Котельникова частота дискретизации кГц. Откуда период дискретизации T=0.2мс

По графику, изображенному на рис.2, определяем значения дискретных отсчетов входного сигнала U 1 (n) для t моментов дискретизации.

Дискретные значения импульсной характеристики вычисляются по формуле

где T=0.0002 с; n=0, 1, 2,…., 20.

Таблица 3. Дискретные значения функции входного сигнала и импульсной характеристики

Дискретные значения сигнала на выходе цепи вычисляются для первых 8 отсчетов с помощью формулы дискретной свертки.

Таблица 4. Дискретный сигнал на выходе цепи.

Сопоставление результатов расчета с данными таблицы 1 показывает, что различие в значениях U 2 (t), вычисленные с помощью интеграла Дюамеля и путем дискретизации сигнала и импульсной характеристики отличаются на несколько десятых, что является допустимым отклонением при данных начальных параметрах.

Рисунок 9. Значение дискретного сигнала на входе цепи.

Рисунок 10. Значение дискретного сигнала на выходе цепи.

Рисунок 11. Значение дискретных отсчетов импульсной характеристики цепи H(n).

Многолучевой канал связи, как любая линейная система, определяется однозначно своей ИХ во временной области и/или передаточной функцией в частотной области. ИХ канала, и его передаточная функция позволяют определить связь выходного и входного сигналов и их спектров соответственно. Многолучевой канал показан на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Многолучевой канал

В многолучевом канале сигнал распространяется по многим путям, и n -ый путь (луч) характеризуется задержкой сигнала t n (t ) и комплексным коэффициентом передачи a n (t ). Если передается сигнал s (t ), то на входе приемника наблюдается сигнал x (t ), представляющий собой сумму сигналов, распространяющихся различными путями. Этот сигнал можно записать следующим образом:

, (2.3.1)

Подавляющее большинство систем связи применяют узкополосные сигналы, которые могут быть представлены в виде (1.1.2). Подставив (1.1.2) в (2.3.1), получим, что

Отсюда следует, что комплексная амплитуда принимаемого низкочастотного сигнала равна

Далее будем предполагать, что за время прохождения сигнала задержки t n (t ) и комплексные коэффициенты передачи a n (t ) для всех лучей остаются неизменными и равными t n и a n .

По определению ИХ линейной системы с фиксированными параметрами является откликом системы на входной d -импульс. Поэтому ИХ канала мы получим, если подадим на вход канала сигнал (1.1.2) с комплексной амплитудой равной . В результате будем иметь, что

Чтобы получить передаточную функцию канала , необходимо взять гармонический сигнал единичной амплитуды частоты f , т.е. подставить в (2.3.1) сигнал . Тогда получим, что

. (2.3.5)

В качестве примера рассмотрим свойства двулучевого канала. Предположим, что имеется прямой сигнал и сигнал, отраженный местным предметом. Прямой сигнал приходит без искажения и имеет задержку на время распространения от передатчика до приемника. Кроме того, его амплитуда уменьшается и зависит от расстояния между передатчиком и приемником. Эти изменения параметров сигнала не имеют принципиального значения для нашего рассмотрения. Поэтому начало отсчета времени совместим с моментом прихода прямого сигнала в приемную антенну, а амплитуду прямого сигнала нормируем так, чтобы она была равна единице. Фазу прямого сигнала примем равной нулю. В этом случае из (2.3.4) получаем, что канал можно характеризовать ИХ

где – комплексный коэффициент отражения сигнала от местного предмета, – разность фаз между первым и вторым сигналами из-за задержки t 2 второго сигнала относительно первого, а 2 – комплексная амплитуда второго сигнала по отношению к первому.

ИХ двулучевого канала изображена на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Двулучевой канал: а) на вход приемника приходят прямой s 1 и отраженный s 2
сигналы; б) ИХ двулучевого канала

Заметим, что ИХ канала (2.3.6) не дает информации о направлении прихода второго сигнала. Обычно предполагается, что второй сигнал имеет меньшее значение амплитуды, т.е. .

Передаточную функцию канала найдем из (2.3.5). Получим, что

Коэффициент передачи канала по мощности определяется как квадрат модуля передаточной функции, т.е.

Пример этой функции приведен на рис. 2.6 для |a 2 |=0.8, t 2 =1, arga 2 =p/6. Видно, что коэффициент передачи канала по мощности имеет максимумы и минимумы, то есть гармонические сигналы с некоторыми частотами ослабляются, в то время как с другими частотами усиливаются. Минимумы наблюдаются для частот , где n =0, ±1,¼. Расстояние между минимумами на оси частот не зависит от фазы коэффициента отражения a 2 и равно . Средний коэффициент передачи по мощности равен 1+|a 2 | 2 и показан на рис. 2.6 штриховой линией, минимум равен (1-|a 2 |) 2 , а максимум - (1+|a 2 |) 2 . Если амплитуда прямого сигнала равна амплитуде задержанного сигнала, то может наблюдаться полное пропадание сигнала на входе приемника.

Рис. 2.6. Коэффициент передачи двулучевого канала по мощности

Изменение уровня принимаемого сигнала, вызванное интерференцией сигналов, проходящих в канале различными путями, принято называть замираниями принимаемого сигнала или федингами. Если полоса пропускания приемника , то все спектральные компоненты сигнала в пределах частотной полосы приемника будут испытывать дружные замирания. В этом случае принято говорить, что канал является плоским (flat channel). Если выполняется другое условие , то различные спектральные компоненты сигнала испытывают различные замирания. В этом случае говорят, что канал является частотно селективным (frequency selective channel).

Фаза отраженного сигнала в (2.3.7) может изменяться значительно даже при очень малых изменениях задержки t 2 этого сигнала. В самом деле, изменение фазы на 2p радиан происходит при изменении задержки t 2 на 1/f . Например, если несущая частота f c =900 МГц, то величина 1/f составляет всего 1,1 наносекунд, что соответствует изменению пути распространения сигнала на 33 см, то есть на длину волны. Таким образом, если разность хода между прямым и отраженным сигналами изменится всего на 16.5 см, разность фаз между ними изменится на 180 градусов. Этот пример показывает, что сигнал может испытывать глубокие и быстрые замирания даже при движении абонента со скоростью пешехода.

По определению передаточная функция (ПФ) представляет собой оператор, равный отношению изображений выходной и входной координат при нулевых начальных условиях:

W(p) = R(p) / Q(p)

Назначение сервиса . Объект управления (ОУ) описывается линейным дифференциальным уравнением n порядка. Для колебательного звена n -го порядка определяются:

1. передаточная функция;
2. частотные характеристики (амплитудная (АЧХ), фазовая (ФЧХ), логарифмическая (ЛЧХ));
3. переходная и импульсная переходная (весовая) функции;
4. графики переходных и частотных характеристик.

Для нахождения передаточной функции онлайн необходимо выбрать тип звена и ввести степень звена.

Пример . Объект управления (ОУ) описывается линейным дифференциальным уравнением третьего порядка:
(2)
1) Передаточная функция ОУ в общем случае может быть представлена в виде отношения
W(iω) = A(ω)e iφ(ω) = U(ω) + iV(ω),
где R(p)и Q(p) – изображения по Лапласу выходной и входной переменных ОУ, соответствующих левой и правой частям уравнения 1. Отсюда, передаточная функция будет иметь вид:
(3)
или
. (4)

2) Определим частотные характеристики ОУ. Известно, что частотная передаточная функция W(ω) может быть представлена в виде:
, (5)
где A(ω) – амплитудная частотная характеристика (АЧХ);
φ(ω) – фазовая частотная характеристика (ФЧХ);
U(ω) – вещественная частотная характеристика (ВЧХ);
V(ω) – мнимая частотная характеристика;
Подставим iω в выражение (3) вместо p . Получим:
(6)
На основе выражений (5) и (6) выделим отдельно амплитудную и фазовую частотные характеристики и подставим численные значения коэффициентов. Исходя из того, что:
A(ω) = |W(iω)|
φ(ω) = arg(W(iω))
(см. комплексные числа). Окончательно получим: (7)

3) Определим логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ).
Известно, что ЛАЧХ определяется из соотношения:
L(ω) = 20lg(A(ω)) (8)
Данная характеристика имеет размерность дБ (децибелы) и показывает изменение отношения мощностей выходной величины к входной. Для удобства ЛАЧХ строят в логарифмическом масштабе.
Фазовая частотная характеристика, построенная в логарифмическом масштабе, будет называться логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ).
Примеры построения ЛАЧХ и ЛФЧХ для наших исходных данных приведены на рисунке 1.
Определим импульсную переходную (весовую) функцию. Весовая функция w(t) представляет собой реакцию системы на единичную импульсную функцию, поданную на ее вход. Весовая функция связана с передаточной функцией преобразованием Лапласа.
. (9)
Следовательно, весовую функцию можно найти, применив обратное преобразование Лапласа к передаточной функции.
w(t) = L -1 (10)