Наука изощряет ум;
Ученье вострит память.
Козьма Прутков
глава 15
ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЕЙ
15.1. Изучаемые вопросы
С интез аналоговых двухполюсников . Синтез стационарных четырехполюсников по заданной АЧХ. Фильтры Баттерворта и Чебышева .
Указания. При изучении вопросов необходимо четко уяснить неоднозначность решения задачи синтеза двухполюсников и конкретные пути решения задачи по Фостеру и Кауэру, а также приобрести умение определить возможность реализации той или иной функции входного сопротивления двухполюсника. При синтезе электрических фильтров на основе фильтров-прототипов важно понимать преимущества и недостатки аппроксимации характеристик затухания по Чебышеву и Баттерворту. Необходимо уметь быстро с помощью формул частотных преобразований рассчитывать параметры элементов любых типов фильтров (ФНЧ, ФВЧ, ППФ).
15.2. Краткие теоретические сведения
В теории цепей принято говорить о структурном и параметрическом синтезе. Главной задачей структурного синтеза является выбор структуры (топологии) цепи, удовлетворяющей наперед заданным свойствам. При параметрическом синтезе определяются лишь параметры и тип элементов цепи, структура которой известна. Далее речь пойдет только о параметрическом синтезе.
В качестве исходного при синтезе двухполюсников обычно используют входное сопротивление
Если задана функция , то она может быть реализована пассивной цепью при выполнении следующих условий: 1) все коэффициенты многочленов числителя и знаменателя вещественны и положительны; 2) все нули и полюсы находятся либо в левой полуплоскости, либо на мнимой оси, причем полюсы и нули на мнимой оси простые; данные точки всегда либо вещественны, либо образуют комплексно-сопряженные пары; 3) высшие и низшие степени многочленов числителя и знаменателя отличаются не более чем на единицу. Следует отметить также, что процедура синтеза не является однозначной, т. е. одну и ту же входную функцию можно реализовать несколькими способами.
В качестве исходных структур синтезируемых двухполюсников обычно используют цепи Фостера, представляющие собой последовательное либо параллельное соединение относительно входных зажимов соответственно нескольких комплексных сопротивлений и проводимостей, а также лестничных цепей Кауэра .
Метод синтеза двухполюсников основан на том, что заданная входная функция или подвергается ряду последовательных упрощений. При этом на каждом этапе выделяется выражение, которому ставят в соответствие физический элемент синтезируемой цепи. Если все компоненты выбранной структуры идентифицированы с физическими элементами, то задача синтеза решена.
Синтез четырехполюсников базируется на теории фильтров-прототипов нижних частот . Возможные варианты прототипа ФНЧ показаны на рис. 15.1.
При расчете может быть использована любая из схем, так как их характеристики идентичны. Обозначения на рис. 15.1 имеют следующий смысл: – индуктивность последовательной катушки или емкость параллельного конденсатора; – сопротивление генератора , если , или проводимость генератора , если ; – сопротивление нагрузки , если или проводимость нагрузки , если .
Величины элементов прототипов нормируют так, чтобы и частота среза . Переход от нормированных фильтров-прототипов к другому уровню сопротивлений и частот осуществляется с помощью следующих преобразований элементов цепи:
;
.
Величины со штрихами относятся к нормированному прототипу, а без штриха – к преобразованной цепи. Исходной величиной при синтезе является рабочее затухание мощности, выраженное в децибелах:
, дБ,
– максимальная мощность генератора с
внутренним сопротивлением и эдс , – выходная мощность в нагрузке.
Обычно частотную зависимость аппроксимируют максимально плоской (баттервортовской) характеристикой (рис. 15.2, а )
где 
.
Величину рабочего затухания , соответствующую частоте среза , обычно выбирают равной 3 дБ. При этом . Параметр n равен числу активных элементов цепи и определяет порядок фильтра.
Подобные документы
Предназначение полосовых резонансных частотных фильтров. Элементы последовательного и параллельного колебательного контура. Анализ частотных свойств различных цепей с помощью амплитудно-частотных характеристик. Пример расчета полосового LC-фильтра.
курсовая работа, добавлен 21.11.2013
Расчет и обоснование частоты заданного генератора. Построение графиков исследуемых характеристик. Определение аналитических выражений для коэффициента передачи. Вычисление ослабления сигнала при изменении частоты в два раза в заданной полосе задержания.
лабораторная работа, добавлен 20.12.2015
Характеристика этапов разработки рекурсивных фильтров. Специфика режекторного фильтра произвольной частоты, деформация частотной шкалы. Типы рекурсивных частотных фильтров, особенности метода размещения нулей и полюсов. Описание селекторных фильтров.
статья, добавлен 15.11.2018
Определение предназначения линейных четырехполюсников, обладающих избирательными свойствами. Расчет полосового LC-фильтра. Определение амплитудного спектра радиоимпульсов. Формирование требований к полосовому фильтру. Расчет полюсов ARC-фильтра.
курсовая работа, добавлен 01.10.2017
Синтез адаптивного фильтра-наблюдателя главных гармоник выходных сигналов (напряжений и токов) преобразователя частоты (ПЧ) с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ), в котором отсутствует дифференцирование сигналов. Улучшение фильтрующих свойств фильтра.
статья, добавлен 29.09.2018
Определение среднего номинального выпрямленного тока, сопротивления нагрузки, коэффициента сглаживания фильтра. Расчет токов короткого замыкания. Разработка электрической принципиальной схемы преобразователя. Расчет и выбор элементов фильтра и диодов.
курсовая работа, добавлен 24.01.2013
Характеристика основных видов аналоговых фильтров. Изучение задач синтеза частотно-избирательных цепей. Выбор минимального порядка фильтра. Моделирование с использованием программного комплекса Micro-Cap. Анализ основ выбора операционного усилителя.
курсовая работа, добавлен 21.01.2015
Построение графика временной зависимости выходного напряжения как реакции на входной скачок напряжения. Проведение компенсации ослабления высоких частот с помощью фильтра верхних частот. Выбор схемы и расчет элементов резистивных цепей усилителя.
курсовая работа, добавлен 26.01.2015
Расчёт выпрямителя, элементов фильтра и трансформатора. Выбор типа магнитопровода и проверка его на соответствие величин холостого хода. Определение значений сечений проводов обмотки, сопротивление каждой обмотки в нагретом состоянии, потерь напряжения.
контрольная работа, добавлен 26.03.2014
Теоретические основы процесса фильтрования. Современная классификация фильтров периодического действия. Принцип работы барабанного вакуума. Расчет требуемой поверхности зоны фильтрования, подбор по каталогам стандартного фильтра и определение их числа.
Классическая теория синтеза пассивных линейных электрических цепей с сосредоточенными параметрами предусматривает два этапа:
Отыскание или подбор подходящей рациональной функции, которая могла бы являться характеристикой физически осуществимой цепи и вместе с тем быть достаточно близкой к заданной характеристике;
Отыскание структуры и элементов цепи, реализующей выбранную функцию.
Первый этап называется аппроксимацией заданной характеристики, второй - реализацией цепи.
Аппроксимация, основанная на применении различных ортогональных функций, не вызывает принципиальных трудностей. Значительно сложнее задача отыскания оптимальной структуры цепи по заданной (физически осуществимой) ее характеристике. Эта задача не имеет однозначного решения. Одну и ту же характеристику цепи можно реализовать множеством способов, различающихся по схеме, по числу входящих в нее элементов и сложности подбора параметров этих элементов, но чувствительности характеристик цепи к нестабильности параметров и т. д.
Различают синтез цепей в частотной области и во временной. В первом случае задается передаточная функция К (iω), а во втором - импульсная характеристика g(t). Поскольку эти две функции связаны между собой парой преобразований Фурье, синтез цепи во временной области можно свести к синтезу в частотной и наоборот. Все же синтез по заданной импульсной характеристике имеет свои особенности, играющие большую роль в импульсной технике при формировании импульсов с определенными требованиями к их параметрам (крутизне фронта, выбросу, форме вершины и т. д.).
В данной главе рассматривается синтез четырехполюсников в частотной области. Следует указать, что по синтезу линейных электрических цепей в настоящее время существует обширная литература, а изучение общей теории синтеза не входит в задачу курса "Радиотехнические цепи и сигналы". Здесь рассматриваются лишь некоторые частные вопросы синтеза четырехполюсников, отображающие особенности современных радиоэлектронных цепей. К таким особенностям в первую очередь относятся:
Применение активных четырехполюсников;
Тенденция к исключению индуктивностей из избирательных цепей (в микроэлектронном исполнении);
Возникновение и быстрое развитие техники дискретных (цифровых) цепей.
Известно, что передаточная функция четырехполюсника К (iω) однозначно определяется своими нулями и полюсами на р-плоскости. Поэтому выражение "синтез по заданной передаточной функции" эквивалентно выражению "синтез по заданным нулям и полюсам передаточной функции". Существующая теория синтеза четырехполюсников рассматривает цепи, передаточная функция которых обладает конечным числом нулей и полюсов, иными словами, цепи, состоящие из конечного числа звеньев с сосредоточенными параметрами. Из этого вытекает вывод о неприменимости классических методов синтеза цепей к фильтрам, согласованным с заданным сигналом. Действительно, входящий в передаточную функцию подобного фильтра множитель e iωt 0 [см. (12.16)] не реализуется конечным числом звеньев с сосредоточенными параметрами. Излагаемый в данной главе материал ориентирован на четырехполюсники с небольшим числом звеньев. Такие четырехполюсники характерны для фильтров нижних частот, верхних частот, заградительных фильтров и т. д., широко применяемых в радиоэлектронных устройствах.
Теорию цепей принято делить на две обширные области, тесно связанные между собой, - анализ и синтез. Задачей анализа является нахождение внешних и внутренних характеристик электрической цепи, структура которой задана заранее, например в виде принципиальной схемы. Задача синтеза цепи диаметрально противоположна - внешняя характеристика, такая, как частотный коэффициент передачи напряжения, входное или выходное сопротивление и т. д., считается известной. Требуется найти структуру цепи, реализующую эту характеристику.
В отличие от анализа синтез цепи, как правило, является неоднозначной процедурой. Поэтому среди множества структур с одинаковыми свойствами необходимо отыскать ту, которая в некотором определенном смысле оптимальна. Так, всегда желательно, чтобы синтезируемая цепь содержала минимально возможное число элементов. Во многих случаях нужно, чтобы цепь была малочувствительна к выбору номиналов входящих в нее элементов.
Синтез цепей является развитой областью современной теоретической радиотехники. Разработан целый ряд методов синтеза, порой весьма сложных, с которыми читатель может познакомиться самостоятельно . Методы синтеза цепей приобрели исключительно большое значение в связи с внедрением систем автоматизированного проектирования радиотехнических устройств на ЭВМ.
В данной главе будет изучаться простейшая задача синтеза частотных фильтров, представляющих собой линейные стационарные четырехполюсники, образованные элементами L, С и R. Исходные данные для синтеза во всех случаях будут задаваться амплитудно-частотными характеристиками.
13.1. Частотные характеристики четырехполюсников
Четырехполюсниками называют электрические цепи, имеющие вид «черного ящика» с двумя парами доступных зажимов. Одна пара служит входом, другая - выходом сигнала. В рабочем режиме ко входу подключен источник сигнала, а выходные зажимы нагружены на сопротивлений нагрузки
Предполагаетсн, что читатель знаком с методами анализа четырехполюсников, которые излагаются в курсе теории цепей . Материал данного параграфа освещает лквдь отдельные моменты, существенные для синтеза четырехполюсников.
Матричное описание.
Важнейшее свойство линейного стационарного четырехполюсника состоит в том, что четыре комплексные амплитуды при любой частоте внешнего воздействия связаны двумя линейными алгебраическими уравнениями. Две произвольно выбранные комплексные амплитуды можно принять за независимые величины, а две другие должны определяться через них. Это служит основанием для матричного описания линейных четырехполюсников. Так, часто используют матрицу передачи (-матрицу), полагая независимыми переменными напряжение и ток на выходе. При этом
Коэффициенты А, В, С и D имеют разные физические размерности и могут быть определены из опытов холостого ходв и короткого замыкания. Матрицы передачи особенно удобны для описания каскадного включения четырехполюсников, поскольку результирующая матрица есть произведение матриц отдельных звеньев.
Если заданы матрица четыфехполюсника и сопротивление нагрузки, то можно вычислить так называемые функции цепи, к которым относят, например:
а) входное сопротивление
б) передаточное сопротивление
в) частотный коэффициент передачи напряжения
Функции цепи зависят в общем случае от частоты. Любая функция цепи выражается через элементы матрицы четырехполюсника и через сопротивление нагрузки. Так, деля левые и правые части уравнения (13.1) друг на друга, находим, что входное сопротивление
Аналогично, частотный коэффициент передачи напряжения
Обратим внимание на то, что функция зависит от направления передачи энергии в системе. Если источник и нагрузка поменялись местами, то вводят частотный коэффициент передачи в обратном направлении (нагрузка слева):
Передаточная функция четырехполюсника.
В дальнейшем в качестве аргумента частотного коэффициента передачи будет использоваться не только переменная но и комплексная частота , т. е. наряду с функцией будет рассматриваться более общая характеристика - передаточная функция . Передаточная функция четырехполюсника обладает всеми свойствами передаточных функций линейных стационарных систем, рассмотренных в гл. 8.
Так, линейному четырехполюснику с постоянными параметрами отвечает функция
где - постоянная величина. Если цепь устойчива, то полюсы должны располагаться в левой полуплоскости, образуя комплексно-сопряженные пары.
Обычно вводят дополнительное условие - число полюсов функции должно превышать число нулей, т. е. в бесконечно удаленной точке должен существовать не полюс, а нуль передаточной функции. Тогда импульсная характеристика цепи
оказывается ограниченной, поскольку при бесконечно большом радиусе контура интегрирования С экспоненциальный сомножитель подынтегральной функции сможет «погасить» интеграл по дуге.
Расположение нулей передаточной функции.
В отличие от полюсов нули функции устойчивого линейного четырехполюсника могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскости переменной . Действительно, если то это лишь означает, что при некотором изображение выходного напряжения обращается в нуль. Это не противоречит свойствам устойчивых систем.
Четырехполюсники, не имеющие нулей передаточной функции в правой полуплоскости, называют минимально-фазовыми цепями. Если же нули в правой полуплоскости имеются, то такие четырехполюсники называют неминимальнофазовыми цепями.
Данная терминология связана со следующими обстоятельствами. Рассмотрим плоскость комплексной частоты, на которой обозначены некоторые точки в левой и правой полуплоскостях. Пусть эти точки являются нулями передаточной функции четьфехполюсника. Если цепь находится под гармоническим внешним воздействием, так что то данным точкам соответствуют два вектора на комплексной плоскости: которые отвечают соответствующим сомножителям в числителе формулы (13.5). Оба вектора поворачиваются и изменяют свою длину при изменении частоты Разница между ними состоит в том, что вектор с изменением частоты от до увеличивает фазовый угол частотного коэффициента передачи на радиан, в то время как вектор при тех же условиях уменьшает фазу на ту же величину. Коэффициент передачи четырехполюсника является дробнорациональной функцией, изменение аргумента которой
Поэтому при одинаковом числе нулей и полюсов неминимально-фазовая цепь обеспечивает большее по абсолютному значению изменение фазы коэффициента передачи по сравнению с минимально-фазовой цепью.
Расположение нулей функции связано с топологической структурой цепи. В теории цепей показывается, что минимально-фазовым будет любой четырехполюсник со следующим свойством: передача сигнала с входа на выход может быть полностью прекращена путем разрыва единственной ветви. В частности, минимально-фазовыми цепями будут любые четырехполюсники лестничной структуры.
Неминимально-фазовые четырехполюсники имеют, как правило, структуру мостовых (скрещенных) цепей, в которых сигнал на выход проходит по двум или более каналам. Простейшая неминимально-фазовая цепь - симметричный мостовой четырехполюсник, образованный элементами . Здесь, как нетрудно убедиться, передаточная функция по напряжению
Данная функция имеет единственный нуль который находится в правой полуплоскости.
Однако мостовая структура не гарантирует автоматически принадлежность цепи к неминимально-фазовому классу. В каждом отдельном случае следует проверять наличие или отсутствие нулей передаточной функции в правой полуплоскости.
Связь меаду АЧХ и ФЧХ минимально-фазового четырехполюсника.
Передаточная функция любого устойчивого четьфехполюсника в правой полуплоскости переменной является аналитической функцией. Если к тому же этот четырехполюсник принадлежит к числу цепей минимальнофазового типа, то его передаточная функция в правой полуплоскости не имеет и нулей. Это значит, что аналитической оказывается функция
В соответствии с материалом гл. 5 граничные значения вещественной и мнимой частей функции на мнимой оси, т. е. при связаны между собой парой преобразований Гильберта:
Таким образом, реализуя заданную АЧХ четырехполюсника минимально-фазового типа, невозможно получить при этом любую ФЧХ.
Основываясь на свойствах преобразований Гильберта, можно утверждать, например, что если АЧХ минимально-фазового четырехполюсника на какой-нибудь частоте достигает максимума, то ФЧХ в окрестности этой частоты проходит через нуль.
Если же четырехполюсник принадлежит к классу цепей неминимальной фазы, то АЧХ и ФЧХ независимы друг от друга. Среди неминимально-фазовых цепей особо важную роль играют так называемые всепропускающие четырехполюсники, у которых модуль коэффициента передачи постоянен и не зависит от частоты. Примером может служить симметричный мостовой -четырехполюсник, для которого в соответствии с равенством (13.6)
Подобные четырехполюсники используются для фазовой коррекции сигналов. Они позволяют частично компенсировать искажения формы сигналов, прошедших через радиотехнические устройства.
Цель: Освоение методики синтеза линейных фильтров (нижних частот, верхних частот и полосовых) на основе максимально-плоской и чебышевской аппроксимаций.
Краткие теоретические сведения: Для выполнения данной работы необходимо умение анализировать различные типы линейных цепей и находить их основные характеристики(частотный коэффициент передачи, передаточную функцию и ее полюса); знание принципов синтеза линейных фильтров нижних частот на основе максимально-плоской и чебышевской аппроксимаций и принципов перехода от известных схем ФНЧ к схемам ФВЧ и полосовых фильтров.
ФНЧ предназначены для передачи с минимальным ослаблением колебаний, частоты которых не превосходят некоторой граничной частоты, которая называется частотой среза , при этом колебания с частотами, большими частоты среза, должны существенно ослабляться.
Свойства передаточной функции четырехполюсника :
Полюса передаточной функции четырехполюсника должны располагаться в левой полуплоскости комплексной частоты р. Они могут быть вещественными либо образовывать комплексно-сопряженные пары.
Количество полюсов передаточной функции всегда должно превышать количество нулей.
В отличие от полюсов нули передаточной функции могут располагаться в любой полуплоскости, т.е по всей плоскости комплексной частоты р.
Этапы синтеза фильтров :
Формулировка технических требований к характеристикам фильтров в зависимости от заданной полосы пропускания. При этом никаких ограничений на структуру фильтра не налагается. Такой подход называется синтезом по заданной АЧХ . Как правило, идеальная характеристика на практике не реализуема.
Аппроксимация идеальной характеристики с помощью такой функции, которая может принадлежать физически реализуемой цепи.
Реализация выбранной аппроксимированной функции и получение принципиальной схемы фильтра с номиналами входящих в нее элементов.
Наибольшее распространение получили два вида аппроксимации: максимально-плоская и чебышевская.
Максимально-плоская аппроксимация основана на использовании функции частотного коэффициента передачи мощности, заданного в виде:
где
– безразмерная нормированная частота.
Фильтр, частотная характеристика которого удовлетворяет такой функции, называется фильтром с максимально-плоской характеристикой или фильтром Баттерворта.
Процедура синтеза начинается с определения полюсов передаточной функции фильтра, для чего необходимо перейти к нормированной комплексной частоте р н и определить полюса функции частотного коэффициента передачи мощности фильтра:
;
Определять корни данного уравнения в общем случае можно по формуле Муавра (вычисление корней n -ой степени из комплексного числа). При этом необходимо учитывать значение фазы комплексного числаz = – 1 (=).
При нахождении
корней данного уравнения для любого
порядка фильтра n
должна выполняться следующаяобщая
закономерность:
все
полюса располагаются на одинаковом
угловом расстоянии друг от друга и это
расстояние всегда равно
;
еслиn
– нечетное, то
первый полюс всегда равен 1, еслиn
– четное, то первый полюс
.
Используя свойство квадрантной симметрии расположения полюсов функции частотного коэффициента передачи мощности и условия устойчивости и физической реализуемости четырехполюсников, для передаточной функции фильтра необходимо отобрать лишь те полюса, которые расположены в левой полуплоскости комплексной частоты и для них записать нуль-полюсное представление передаточной функции.
