Прямое отношение к программированию имеет дисциплина, которая называется математической логикой. Основу математической логики составляет алгебра логики, или исчисление высказываний. Под высказыванием понимается любое утверждение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, «Луна - спутник Земли» - истинно; «5 > 3» - истинно; «Москва - столица Китая» - ложно; «1 = 0» - ложно. Истина или ложь являются логическими величинами. Логические значения приведенных выше высказываний однозначно определены; другими словами, их значения являются логическими константами.
Логическое значение неравенства х < 0, где х - переменная, является переменной величиной. В зависимости от значения х оно может быть либо истиной, либо ложью. В связи с этим возникает понятие логической переменной.
Основы формального аппарата математической логики создал в середине XIX в. английский математик Джордж Буль. В его честь исчисление высказываний называют булевой алгеброй, а логические величины - булевскими.
Одиночные высказывания могут быть объединены в составные логические формулы с помощью логических операций.
Имеются три основные логические операции: отрицание, конъюнкция (логическое умножение) и дизъюнкция (логическое сложение).
Операция отрицания обозначается в математической логике значком ¬ и читается как частица не. Это одноместная операция.
Например, ¬ (x = у) читается «не (х равно y)». В результате получится истина, если х не равно у, и ложь, если х равно у. Отрицание изменяет значение логической величины на противоположное.
Операция конъюнкции обозначается значком & и читается как частица и . Это двухместная операция. Например, (х > 0) & (х < 1) читается «х больше 0 и х меньше 1». Данная логическая формула примет значение истина, если х (0,1), и ложь - в противном случае. Следовательно, результат конъюнкции - истина, если истинны оба операнда. Знак операции дизъюнкции v читается как частица или. Например, (х = 0) v (х = 1) читается «х равно 0 или х равно 1». Формула дает истину, если х - двоичная цифра (0 или 1). Следовательно, дизъюнкция дает в результате истину, если хотя бы один операнд - истина.
В Паскале логические значения обозначаются служебными словами false (ложь) и true (истина), а идентификатор логического типа - boolean.
Кроме величин (констант и переменных) типа boolean логические значения false, true принимают результаты операций отношения.
Операции отношения (рис. 18) осуществляют сравнение двух операндов и определяют, истинно или ложно соответствующее отношение между ними.
Логические операции выполняются над операндами булева типа. Имеются четыре логические операции: Not - отрицание; And - логическое умножение (конъюнкция); Or - логическое сложение (дизъюнкция). Кроме этих трех обязательных операций в Турбо Паскале имеется еще операция - исключающее ИЛИ . Ее знак - служебное слово Хоr. Это двухместная операция, которая в результате дает значение истина, если оба операнда имеют разные логические значения.
Операции отношения имеют самый низкий приоритет. Поэтому если операндами логической операции являются отношения, то их следует заключать в круглые скобки. Например, математическому неравенству 1 ≤ х ≤ 50 соответствует следующее логическое выражение:
(1<=X) And (X<=50)
Логическое выражение есть логическая формула, записанная на языке программирования. Логическое выражение состоит из логических операндов, связанных логическими операциями и круглыми скобками. Результатом вычисления логического выражения является булева величина (false или true). Логическими операндами могут быть логические константы, переменные, функции, операции отношения. Один отдельный логический операнд является простейшей формой логического выражения.
Примеры логических выражений (здесь d, b, с - логические переменные; х, у - вещественные переменные; k - целая переменная):
Если d=true; b=false; c=true; x=3.0; y=0.5; k=5, то результаты вычисления будут следующими:
В примере использована логическая функция odd(k). Это функция от целого аргумента k, которая принимает значение true, если значение k нечетное, и false, если k четное.
Логический оператор присваивания имеет структуру, представленную на рис. 19.
(0,1), и ложь - в противном случае. Следовательно, результат конъюнкции - истина, если истинны оба операнда. Знак операции дизъюнкции v читается как частица или. Например, (х = 0) v (х = 1) читается «х равно 0 или х равно 1». Формула дает истину, если х - двоичная цифра (0 или 1). Следовательно, дизъюнкция дает в результате истину, если хотя бы один операнд - истина.В Паскале логические значения обозначаются служебными словами false (ложь) и true (истина), а идентификатор логического типа - boolean.
Прямое отношение к программированию имеет дисциплина, которая называется математической логикой. Основу математической логики составляет алгебра логики, или исчисление высказываний. Под высказыванием понимается любое утверждение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, «Луна - спутник Земли» - истинно; «5 > 3» - истинно; «Москва - столица Китая» - ложно; «1 = 0» - ложно. Истина или ложь являются логическими величинами. Логические значения приведенных выше высказываний однозначно определены; другими словами, их значения являются логическими константами.
Логическое значение неравенства х < 0, где х - переменная, является переменной величиной. В зависимости от значения х оно может быть либо истиной, либо ложью. В связи с этим возникает понятие логической переменной.
Основы формального аппарата математической логики создал в середине XIX в. английский математик Джордж Буль. В его честь исчисление высказываний называют булевой алгеброй, а логические величины - булевскими.
Одиночные высказывания могут быть объединены в составные логические формулы с помощью логических операций.
Имеются три основные логические операции: отрицание, конъюнкция (логическое умножение) и дизъюнкция (логическое сложение).
Операция отрицания обозначается в математической логике значком ¬ и читается как частица не. Это одноместная операция.
Например, ¬ (x = у) читается «не (х равно y)». В результате получится истина, если х не равно у, и ложь, если х равно у. Отрицание изменяет значение логической величины на противоположное.
Операция конъюнкции обозначается значком & и читается как частица и. Это двухместная операция. Например, (х > 0) & (х < 1) читается «х больше 0 и х меньше 1». Данная логическая формула примет значение истина, если х
(0,1), и ложь - в противном случае. Следовательно, результат конъюнкции - истина, если истинны оба операнда. Знак операции дизъюнкции v читается как частица или. Например, (х = 0) v (х = 1) читается «х равно 0 или х равно 1». Формула дает истину, если х - двоичная цифра (0 или 1). Следовательно, дизъюнкция дает в результате истину, если хотя бы один операнд - истина.
В Паскале логические значения обозначаются служебными словами false (ложь) и true (истина), а идентификатор логического типа - boolean.
Кроме величин (констант и переменных) типа boolean логические значения false, true принимают результаты операций отношения.
Операции отношения (рис. 18) осуществляют сравнение двух операндов и определяют, истинно или ложно соответствующее отношение между ними.
Примеры записи отношений: х<у; a+b>=c/d; abs(m-n)<=l. Примеры вычисления значений отношений:
Логические операции выполняются над операндами булева типа. Имеются четыре логические операции: Not - отрицание; And - логическое умножение (конъюнкция); Or - логическое сложение (дизъюнкция). Кроме этих трех обязательных операций в Турбо Паскале имеется еще операция - исключающее ИЛИ. Ее знак - служебное слово Хоr. Это двухместная операция, которая в результате дает значение истина, если оба операнда имеют разные логические значения.
Операции перечислены в порядке убывания приоритетов. Результаты логических операций для различных значений операндов приведены в табл. 3.5.
Таблица 3.5
Операции отношения имеют самый низкий приоритет. Поэтому если операндами логической операции являются отношения, то их следует заключать в круглые скобки. Например, математическому неравенству 1 ≤ х ≤ 50 соответствует следующее логическое выражение:
(1<=X) And (X<=50)
Логическое выражение есть логическая формула, записанная на языке программирования. Логическое выражение состоит из логических операндов, связанных логическими операциями и круглыми скобками. Результатом вычисления логического выражения является булева величина (false или true). Логическими операндами могут быть логические константы, переменные, функции, операции отношения. Один отдельный логический операнд является простейшей формой логического выражения.
Примеры логических выражений (здесь d, b, с - логические переменные; х, у - вещественные переменные; k - целая переменная):
Если d=true; b=false; c=true; x=3.0; y=0.5; k=5, то результаты вычисления будут следующими:
В примере использована логическая функция odd(k). Это функция от целого аргумента k, которая принимает значение true, если значение k нечетное, и false, если k четное.
Логический оператор присваивания имеет структуру, представленную на рис. 19.
Примеры логических операторов присваивания:
2) b:=(x>y) and (k<>0);
3) c:=d or b and not (odd(k) and d).
Программирование ветвлений на Паскале
Основные темы параграфа:
♦ оператор ветвления на Паскале;
♦ программирование полного и неполного ветвления;
♦ программирование вложенных ветвлений;
♦ логические операции;
♦ сложные логические выражения.
Оператор ветвления на Паскале
В языке Паскаль имеется оператор ветвления. Другое его название - условный оператор, Формат полного оператора ветвления следующий:
if <логическое выражение> then <оператор1>
else <оператор2>
Здесь if - «если», then - «то», else - «иначе».
Программирование полного и неполного ветвления
Сравните запись алгоритма БИД1 из предыдущего параграфа с соответствующей программой.
Очень похоже на перевод с русского языка на английский. Обратите внимание на следующее отличие: в программе нет специального служебного слова, обозначающего конец ветвления. Здесь признаком конца оператора ветвления является точка с запятой. (Разумеется, оставлять в программе пустую строку совсем не обязательно. Здесь это сделано только ради наглядности.)
Простой формой логического выражения является операция отношения. Как и в АЯ, в Паскале допускаются все виды отношений (ниже указаны их знаки):
< (меньше); >= (больше или равно);
> (больше); = (равно);
<= (меньше или равно); <> (не равно).
А теперь запрограммируем на Паскале алгоритм БИД2, в котором использовано неполное ветвление.
Опять все очень похоже. Ветвь else в операторе ветвления может отсутствовать.
Программирование вложенных ветвлений
Запишем на Паскале программу определения большего из трех чисел, Блок-схема которая показана на рис. 6.6. Структура этого алгоритма - вложенные ветвления. Алгоритм на АЯ (БИТ2) приведен в предыдущем параграфе.
Обратите внимание на то, что перед else точка с запятой не ставится. Вся ветвящаяся часть структуры алгоритма заканчивается на точке с запятой после оператора D:=C.
Составим программу упорядочения значений двух переменных.
Этот пример иллюстрирует следующее правило Паскаля: если на какой-то из ветвей оператора ветвления находится несколько последовательных операторов, то их нужно записывать между служебными словами begin и end. Конструкция такого вида:
begin <последовательность операторов> end
называется составным оператором. Следовательно, в описанной выше общей форме ветвления <оператор1> и <оператор2> могут быть простыми (один) и составными операторами.
Логические операции
Наконец, составим еще один, третий вариант программы определения большего числа из трех.
Нетрудно понять смысл этой программы. Здесь использованы три последовательных неполных ветвления. А условия ветвлений представляют собой сложные логические выражения, включающие логическую операцию and (И). С логическими операциями вы встречались, работая с базами данных и с электронными таблицами.
Напомним, что операция and называется логическим умножением или конъюнкцией. Ее результат - «истина», если значения обоих операндов - «истина». Очевидно, что если А> В и А > С, то А имеет наибольшее значение и т. д. В Паскале присутствуют все три основные логические операции:
and - И (конъюнкция),
or - ИЛИ (дизъюнкция),
not - НЕ (отрицание).
Сложные логические выражения
Обратите внимание на то, что отношения, связываемые логическими операциями, заключаются в скобки. Так надо делать всегда! Например, требуется определить, есть ли среди чисел А, В, С хотя бы одно отрицательное. Эту задачу решает следующий оператор ветвления:
if (A<0) or (B<0) or (C<0)
then write ("YES") else write ("NO");
Выражение, истинное для отрицательного числа, может быть записано еще и так:
Коротко о главном
Оператор ветвления (условный оператор) Паскаля имеет вид:
if <логическое выражение>
then <оператор1> else <оператор2>
На ветвях условного оператора могут находиться простые или составные операторы. Составной оператор - это последовательность операторов, заключенная между служебными словами begin и end.
В сложных логических выражениях используются логические операции: and, or, not.
Вопросы и задания
1. Как программируется на Паскале полное и неполное ветвление?
2. Что такое составной оператор? В каких случаях составной оператор используется в операторе ветвления?
3. Выполните на компьютере все программы, приведенные в данном параграфе.
4. Составьте не менее трех вариантов программы определения наименьшего из трех данных чисел.
5. Составьте программу сортировки по возрастанию значений в трех переменных: А, В, С.
6. Составьте программу вычисления корней квадратного уравнения по данным значениям его коэффициентов.
План урока по теме: «Логические величины, операции, выражения» 10 класс
Цель урока: сформировать у учащихся понятия: логическое высказывание, логические величины, логические операции.
Задачи:
Образовательная: сформировать понятия: логическое высказывание, логические величины, логические операции.
Развивающая: создать условия для развития познавательного интереса учащихся, способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления;
Воспитательная: способствовать воспитанию умения выслушивать мнение других, работать в коллективе.
Тип урока:
Урок изучения и первичного закрепления новых знаний
План урока.
II. Актуализация - 3 мин.
IV. Закрепление полученных знаний - 17 мин.
V. Подведение итогов урока - 2 мин.
Ход урока
I. Организационный момент - 1 мин.
II. Актуализация - 3 мин.
Логика (от греч. “логос”, означающего “слово” и “смысл”) – наука о законах, формах и операциях правильного мышления.
Ее основная задача заключается в нахождении и систематизации правильных способов рассуждения.
А сейчас нам нужно несколько определений.
АЛГЕБРА ЛОГИКИ – раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.
ОБЪЕКТЫ изучения алгебры логики: ВЫСКАЗЫВАНИЯ
Логическое высказывание – это повествовательное предложение, в котором что либо утверждается или отрицается и относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Не всякое утверждение может быть высказыванием. К примеру, следующее утверждение: «Малахит самый красивый камень из всех известных самоцветов» высказыванием быть не может, так как это вопрос вкуса.
III. Изучение нового материала - 17 мин.
Упражнение 1.
Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность ?
1. Париж - столица Англии. (ЛОЖЬ)
2. Прослушайте сообщение.
3. Кто отсутствует?
4. Число 11 является простым. (ИСТИНА)
5. Назовите устройство ввода информации.
6. 4 + 5=10. (ЛОЖЬ)
7. Без труда не вытащишь и рыбку из пруда.
8. Некоторые медведи живут на севере. (ИСТИНА)
9. Сложите числа 2 и 5.
| Высказывания |
||
| Общие | Частные | Единичные |
| Начинаются со слов: все, всякий, каждый, ни один, любой…Все рыбы умеют плавать | Начинаются со слов: некоторые, большинство, многие…Некоторые медведи бурые | Все другие случаиБуква А - гласная |
Бывают утверждения истинность или ложность, которых невозможно проверить. Например: «На планете Земля в настоящее время есть одно и только одно дерево, на котором растет ровно 10000 листьев». Теоретически это проверить можно, но только теоретически, так как для такой проверки придётся использовать слишком большое количество проверяющих, значительно большее чем проживает на планете людей.
Таким образом, математическая логика изучает только высказывания, и только то, как определять их истинность или ложность.
Математическая логика не исследует смысл высказываний, из чего следует, что формулировка высказывания роли не играет и для высказывания достаточно ввести простое обозначение.
Логическая переменная - это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Ее символическое обозначение - латинская буква.
Значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА и ЛОЖЬ (1 и 0).
Сложные высказывания. Логические операции
Ранее, мы говорили только о простых высказываниях, высказывания же могут быть и сложными состоящими из нескольких простых. соединённых логической связкой И, ИЛИ, НЕ
Например, Сложное высказывание:
«Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3»
«Летом я поеду в деревню или в туристическую поездку»
«Число 4 не делится на 3»
(поверх первого предложения наклеиваем AиB)
(поверх второго предложения наклеиваем AилиB)
(поверх третьего предложения наклеиваем неA)
В первом примере сложное высказывание построено из двух простых с помощью логической операции - конъюнкция A^B,
во втором – дизъюнкция AVB
в третьем – отрицание
Конъюнкция (логическое умножение).
Выражается союзом И.
Обозначается знаком (^ или &).
Записывается А ^В
Значение такого выражения будет ЛОЖЬ, если хотя бы значение одного из операндов ложно.
Дизъюнкция (логическое сложение).
Выражается союзом ИЛИ.
Обозначается знаком (V).
Записывается А V В
Значение такого выражения будет ИСТИНА, если хотя бы значение одного из операндов истинно.
Инверсия (отрицание)
Выражается частицей НЕ.
Обозначается знаком (-).
Записывается -A
Значение такого выражения будет ЛОЖЬ, если значение операнда A было истина и наоборот.
1. Логические величины, операции, выражения. Логические выражения в качестве условий в ветвящихся и циклических алгоритмах.
Для того чтобы понять работу ветвящихся и циклических алгоритмов, рассмотрим понятие логического выражения.
В некоторых случаях выбор варианта действий в программе должен зависеть от того, как соотносятся между собой значения каких-то переменных.
Например, расчёт корней квадратного уравнения производится по-разному в зависимости от дискриминанта (вспомните математику).
В результате сравнения значений двух выражений возможны два варианта ответа: сравнение истинно или ложно ?
Например:
2+3 > 3+1 - да (истинно)
0 < -5 - нет (ложно)
Выражения такого вида мы будем называть логическими выражениями .
Логическое выражение, подобно математическому выражению, выполняется (вычисляется), но в результате получается не число, а логическое значение: истина (true) или ложь (false). Логическая величина - это всегда ответ на вопрос, истинно ли данное высказывание.
Нам известны шесть операций сравнения:
С помощью этих операций мы будем составлять логические выражения. Причём в выражениях не обязательно присутствуют только константы, но и переменные.
Как выполняются операции отношения для числовых величин понятно из математики. Как же сравниваются символьные величины? Отношение «равно» истинно для двух символьных величин, если их длинны одинаковы и все соответствующие символы совпадают. Следует учитывать, что пробел тоже символ.
Символьные величины можно сопоставлять и в отношениях >, <, >=, <=. Здесь упорядоченность слов (последовательности символов) определяется по алфавитному принципу.
«кот» = «кот»
«кот» < «лис»
«кот» > «дом»
Выражение, состоящее из одной логической величины или одного отношения, будем называть простым логическим выражением.
Часто встречаются задачи, в которых используются не отдельные условия, а совокупность связанных между собой условий (отношений). Например, в магазине вам нужно выбрать туфли, размер которых r = 45, цвет color = белый, цена price не более 400руб.
Другой пример: школьник выяснил, что сможет купить шоколадку, если она стоит 3руб. или 3руб. 50коп.
В первом примере мы имеем дело с тремя отношениями, связанными между собой союзом "и" и частицей "не", во втором - с двумя отношениями, связанными союзом "или". Подобные условия назовём составными , и для их обозначения в алгоритме договоримся использовать союзы "и ", "или ", "не ", которые будем рассматривать как знаки логических операций, позволяющих из простых условий создавать составные, подобно тому, как из простых переменных и констант с помощью знаков +, - и т. д. можно создавать алгебраические выражения.
Так условия наших примеров в алгоритме могут выглядеть таким образом:
первое: (r = 45) и (color = белый) и (не (price>400))
второе: (цена=3) или (цена=3.5)
Выражение, содержащее логические операции, будем называть сложным логическим выражением.
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией .
В результате логического умножения (конъюнкции) получается истина, если истинны все логические выражения.
Объединение двух (или нескольких) высказываний с по мощью союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией .
В результате логического сложения (дизъюнкции) получается истина, если истинно хотя бы одно логическое выражения.
Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией .
Отрицание изменяет значение логической величины на противоположное: не истина = ложь; не ложь = истина.
Если в сложном логическом выражении имеется несколько логических операций, то возникает вопрос, в каком порядке их выполнит компьютер. По убыванию старшинства логические операции располагаются в таком порядке:
отрицание (не );
конъюнкция (и );
дизъюнкция (или ).
В логических выражениях можно использовать круглые скобки. Так же как и в математических формулах, скобки влияют на последовательность выполнения операций. Если нет скобок, то операции выполняются в порядке их старшинства.
Пример. Пусть a, b, c - логические величины, которые имеют следующие значения: a = истина, b = ложь, c = истина. Необходимо определить результаты вычисления следующих логических выражений:
a и b
a или b
не a или b
a и b или c
a или b и c
не a или b и c
(a или b) и (с или b)
не (a или b) и (с или b)
не (a и b и c)
Получим в результате:
Пример . Составить алгоритм для вычисления:
Алгоритм Вычисление x
начало
ввод (а, c)
если (4*а – с >=0) и (а<>0) то
начало
x:= корень(4*а – с)/(2*a)
вывод (х)
конец
иначе
вывод («нет решения»)
конец
Компьютер сначала проверит условие (4*а - с >=0) и (а<>0) и если оно окажется истинно, то вычислить x, иначе выведет сообщение «нет решения».
Пример . Составить алгоритм для вычисления суммы всех чисел от 1 до n.
Алгоритм Вычисление суммы чисел
переменные a, c, x - вещественные
начало
ввод (n)
x:= 1
пока x
s:= s + x
x:= x +1
конец
вывод (s)
конец
До тех пор пока условие x
